半导体常识部分
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mazhaocan 2019-04-28 11:47:40
#半导体能带理论 理论上，固体材料可以拥有无穷多个能带，正如孤立原子可以拥有无穷多个能级一样。然而，大部分能带所具有的能量太高，以至于电子将轻易挣脱固体材料的束缚，因此这些能带将不予考虑。具有研究价值的两个能带是“价带(valenceband)” 和“导带(conduction band)”。价带是固体材料中的电子在绝对零度下所能占据的最高能带。比价带更高一级的能带是导带。价带中的电子是被各个原子束缚着的，而导带中的电子可以在晶格中自由移动。 费米能级：对于能量为E的一个能级被电子占据的概率为： ```katex f_{FD}(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{k_b T})} ``` $$E_F$$称为费米能级，在半导体中，它只与温度、半导体材料类型、掺杂浓度和系统零点能选取位置有关。$$E_F$$是一个很重要的参数，一旦给定$$E_F$$，电子在各能级上的统计分布就完全确定。EF可以由材料能带被电子占据的能级数等于电子数这一条件确定。  费米能级的物理意义－标志了电子填充水平，费米能级$$E_F$$就是系统的化学势 #空穴 - 空穴又称电洞（Electron hole），在固体物理学中指共价键上流失一个电子，最后在共价键上留下空位的现象。 - 一个呈电中性的原子，其正电的质子和负电的电子的数量是相等的。现在由于少了一个负电的电子，所以那里就会呈现出一个正电性的空位——空穴。 - 空穴不仅带有正电荷+q，而且还具有正的有效质量 ##准费米势 热平衡：整个半导体中有统一的费米能级,电子和空穴都用它来描写 ```katex n_0=N_Cexp(-\frac{E_C-E_F}{kT}) ``` ```katex p_0=N_Vexp(-\frac{E_F-E_V}{kT}) ``` 准平衡－$$E_F$$在各处的不一样如果晶格热容较大，就可以认为导带电子与晶格或者价带空穴与晶格仍相互独立的处于热平衡状态，且具有与晶格相同的温度。这种与热平衡相近的状态称为准热平衡态。当然，此时在导带电子系统和价带空穴系统之间不存在热平衡，因而也不存在统一的费米能级。但是在准热平衡下，可以认为导带电子系统本身和价带空穴系统本身，各自仍符合Boltzmann分布或者费米分布，各自有各自的费米能级（严格地说，准平衡）$$E_F^n,E_F^p$$ ```katex n=N_Cexp(-\frac{E_C-E_F^n}{kT})=n_0exp(-\frac{E_F^n-E_F}{kT})=n_{ie}exp(-\frac{E_F^n-E_{ie}}{kT}) ``` ```katex p=N_Vexp(-\frac{E_F^p-E_V}{kT})=n_0exp(-\frac{E_F-E_F^p}{kT})=n_{ie}exp(-\frac{E_{ie}-E_F^p}{kT}) ``` 引入准费米势$$\phi_p,\phi_n$$作为常量 ```katex p=n_{ie}exp(-\frac{q}{kT}(\phi_p -\varphi)) ``` ```katex n=n_{ie}exp(-\frac{q}{kT}(\varphi - \phi_n)) ``` #杂质能级 - 当V族元素P在Si中成为替位式杂质且电离时，能够释放电子而产生导电电子并形成正电中心，称它们为施主杂质或n型杂质  - 当III族元素B在Si中成为替位式杂质且电离时，能够接受电子而产生导电空穴并形成负电中心，称它们为受主杂质或p型杂质  按杂质向半导体提供载流子的类型分类： - n型半导体 - p型半导体 - 本征半导体 当半导体中同时存在施主和受主时，考虑杂质补偿作用有效施主浓度（有效掺杂浓度） ND(eff)= ND-NA #载流子输运模型  ##Boltzmann输运模型 在经典物理的范围内，Boltzmann 输运模型能最精确地描述载流子的运动规律。  ## 流体动力学模型 对Boltzmann输运模型取零阶矩，一阶矩和二阶矩  包括电子空穴的连续性方程，动量守恒方程和能量守恒方程 ##能量平衡模型 适用于模拟亚微米级的器件，例如沟道长度在1-0.1$$\mu m$$的MOSEFT  电流密度$$J_n=qD_n\nabla n-q\mu_n n \nabla\psi+qnD_n^T\nabla T_n$$ 能量流密度$$S_n = -K_n\nabla T_n -\frac{k_b \delta_n}{q}J_n T_n$$ ##漂移扩散模型 Poisson方程 $$ -\nabla \cdot (\epsilon \nabla \psi)=q(p-n+ND^+-NA^-) $$ NA 是受主杂质俘获电子后留在晶格上的带负电的离子浓度，ND 是施主杂质贡献一个电子后留在晶格上的带正电的离子浓度。 假设 $$ T_n,T_p $$ 是常数 ```katex \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n - R_n ``` ```katex \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p - R_p ``` ```katex J_n=qD_n\nabla n+q\mu_n n (-\nabla\varphi-\frac{k_b}{T}\nabla log(n_{ie})) ``` ```katex J_p=qD_p\nabla p-q\mu_n n (-\nabla\varphi-\frac{k_b}{T}\nabla log(n_{ie})) ``` $$n_{ie}$$是本征浓度，若不考虑能带变窄的效应，设为常数 适用范围： - 漂移扩散模型方程是在波尔兹曼方程的基础上作了进一步假设的条件下得出的 - 运用了能带理论和有效质量近似的概念 - 不考虑外力随时间的变化，这意味着电场矢量变化很慢。略去了磁场对载流子的作用 - 忽略载流子温度随时间和位置的变化，把载流子的温度和晶格温度视为等同的。这种假设对于热载流子效应是不适宜的。但是可以通过修改爱因斯坦关系来克服这一问题。 - 半导体为无穷大。预计在距边界几个载流子自由程的范围内漂移一扩散模型的近似就不成立了 ### 载流子迁移率 - 在研究载流子输运问题时，涉及到的一个重要物理量就是迁移率。由上两节的讨论可知，它是和载流子的有效质量以及载流子受到的散射几率有关的量。有效质量越大，在单位电场下载流子的漂移速度就越小，载流子的迁移率就越小。载流子受到的散射几率越大，那么弛豫时间就越短，迁移率也就越小。 - 在半导体器件中，裁流子可能受到多种散射的影响，例如晶格散射、电离杂质散射、载流子和载流子之间的散射、中性杂质散射、表面散射、强场下速度饱和效应等。从理论上严格地包括上述全部因素，从而得出完全的迁移率的表达式是一项十分困难的工作 - 迁移率模型可以分为弱场模型、表面模型和强场模型。一个完整的迁移率模型一般由弱场迁移率和表面迁移率按照式综合起来，然后按照电场强度进行修正。 #载流子的产生和复合 半导体中存在五种产生和复合机构： ##1.SRH复合（Shockley-Read-Hall） $$R_{srh}== \frac {np-n_{ie}^2} {\tau_{p}(n + n_{1})+\tau_{n} (p+p_{1})}$$ $$ = \frac {np-n_{ie}^2} {\tau_{p}(n + n_{1})+\tau_{n} (p+p_{1})}$$ $$n_1$$,$$n_p$$是费米能级和复合中心能级重合时导带和价带中的载流子浓度。 $$\tau$$是离子寿命 ##2.辐射复合 直接复合，在复合过程中放出光子 $$ R_{sp}=r(np-n_{ie}^2) $$ ##3.俄歇复合 碰撞离化的逆过程。俄歇复合中，电子-空穴对复合，并将过剩的能量传递给第三个电子或空穴，所以是一个三粒子过程，对于重掺杂半导体，俄歇复合作用比较明显 $$ R_{AUG}=c_n n(np - n_{ie}^2 )+c_p p (np -n_{ie}^2) $$ $$c_n$$,$$c_p$$是实验常数，对于Si $$ c_n = 2.8 \times 10^{-31} cm^6 . s^{-1}, c_p = 9.9 \times 10^{-32} cm^6 . s^{-1} $$ ##4. 表面复合 通过表面复合中心能级形成的复合。对于载流子在靠近表面附近传输的器件很重要。 $$ R_{SUR}=\frac{np-n_{ie}^2}{\frac{1}{s_p}(n+n_1)+\frac{1}{s_n}(p+p_1)}\delta(y) $$ $$s_n$$,$$s_p$$为电子空穴的复合速度，其值和表面状况关系很大，通常在$$100-10^6cm/s$$,$$\delta(y)$$为$$\delta$$函数 ##5. 碰撞电离 这是一种在高场作用下的净产生作用。设在强电场下的碰撞电离净产生率为$G_A$ $$ -R_A=G_A=\alpha_n n \frac{|J_n|}{q}+ \alpha_p \frac{J_p}{q} $$ $$\alpha_n,\alpha_p$$为离化系数 !page # 经典的半导体器件  ##PN节 P 型半导体和N 型半导体的不同组合方式可以得到不同功能的半导体器件。最简单的组合方式是PN 结，即在一块半导体单晶中，其中一部分是P 型区，另一部分是N 型区。由PN 结构成的二极管是最基本的半导体器件。它是更复杂的半导体器件的基本构造单元。  ## BJT 双极性晶体管由三部分掺杂程度不同的半导体制成，晶体管中的电荷流动主要是由于载流子在PN结处的扩散作用和漂移运动。以NPN晶体管为例，按照设计，高掺杂的发射极区域的电子，通过扩散作用运动到基极。在基极区域，空穴为多数载流子，而电子少数载流子。由于基极区域很薄，这些电子又通过漂移运动到达集电极，从而形成集电极电流。  ## MOSEFT MOSFET 全称是Metal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor，即金属- 氧化物- 半导体场效应晶体管。金属- 氧化物- 半导体指的是它的材料是由金属电极、氧化层和半导体材料(P 结和N 结) 构成.N 沟道MOSFET，在P 型衬底(Body) 上制作了两个N+ 区。这里N+ 区表示相对掺杂浓度更高的N 区。两个N+ 区一个称为源区(Source)，一个称为漏区(Drain)，其上分别引出一个金属电极。源区和漏区之间是沟道区，沟道长度为L，沟道区表面有一层薄的氧化层(Oxide)，氧化层上面接栅电极。衬底表面也可引出一个金属电极。  #接触表面确定的边界条件 ### 欧姆接触 欧姆接触指的是具有低接触电阻的金属-半导体接触，这种接触能够通过较大的电流，并且接触 处的电压降可以忽略，电子隧穿通过势垒区，可以解析给出其边界值。 此处是属于Dirichlet边界，电势、电子浓度和空穴浓度都是确定的，多子和少子的准费米势与作用在电极上的偏压相等，作为半导体材料与金属电极的边界接触 ```katex p=\frac{NA-ND+\sqrt{(ND-NA)^2 + 4n_{ie}^2}}{2} ``` ```katex n=\frac{ND-NA+\sqrt{(ND-NA)^2 + 4n_{ie}^2}}{2} ``` ```katex \varphi = \phi_p-\frac{kT}{q}ln(\frac{p}{n_{ie}})=\phi_n+\frac{kT}{q}ln(\frac{p}{n_{ie}}) ``` 多子和少子的准费米势与作用在电极上的偏压相等 $$ \phi_n=\phi_p= V $$ ###氧化物-半导体界面 连续性方程 $$ J_p \cdot n = J_n \cdot n =0 $$ Poisson方程 $$ \epsilon_s \frac{\partial \psi}{\partial n}-\epsilon_0 \frac{\partial \psi}{\partial n}=\sigma $$ $$\epsilon_s, \epsilon_0,\sigma$$分别为半导体和氧化物的介电系数为界面电荷密度 ###栅电极 Dirichlet边界条件 $$ \psi=V-WORKFUNC $$ WORKFUN为氧化物的功函数 ###自由边界 金属电极以外的边界均为自由边界 $$ \nabla\psi \cdot n=J_n \cdot n =J_p \cdot n=0 $$ !page #经典算法 ### 数值模拟的难点 - 漂移扩散模型的电流方程是典型的对流扩散型方程 - 载流子浓度的剧烈变化 - ## FVSG和Zlamal **本质上是同一种方法，都是假设是假设在一个单元上电场和电流的密度为常数**，此时电流可以被解析的表示出来，可以有效克服载流子的震荡 ### FVSG - FVSG 有限体积 + Scharfetter-Gummel 以一维为例 ```katex \frac{d n}{d x}+E n = j_0 ``` $$E,j_0$$为常数此方程存在通解 ```katex n(x) = \frac{j_0}{E}+C_1 exp(-E x) ``` 把$$ n $$在线段端点的值$$n_i$$ 和$$n_j$$ 作为边界条件，反解出$$C_0$$ 和$$C_1$$，得到n 的解析 定义Bernoulli函数 ```katex B(x)=\frac{x}{exp(x)-1} ``` Scharfetter-Gummel 格式给出的边 $$l_{ij}$$ 上的电子电流 $$j_n$$ 和空穴电流 $$j_p$$ 计算公式分别为：  ### Zlamal 有限元 假设$$\mu,J,\nabla \psi$$在单元上是常相量 ```math \sigma_n = \mu_n e^{-\psi} \nabla \Phi ``` $$\sigma_n $$是对$$J_n$$在单元t上的逼近，转换到参考坐标系 ```math \hat \psi(\epsilon ) = \psi(x(\epsilon ) ) ``` ```math \hat \Phi(\epsilon ) = \Phi(x(\epsilon ) ) ``` ```math \mu_n \nabla \hat \Phi_n = e^{- \hat \psi} J^T \sigma_n ``` 其中 ```math J(\epsilon)=\frac{\partial (x_1, x_2 , x_3)}{\partial(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)} ``` 记$$ \Phi_1, \Phi_2, \Phi_3, \Phi_4$$为在$$x^1,x^2,x^3,x^4$$的值，沿$$\epsilon_j,j=1,2,3$$在[0, 1]区间积分 ```math \mu_n \left( \begin{matrix} \Phi_2 - \Phi_1 \\ \Phi_3 - \Phi_1 \\ \Phi_4 - \Phi_1 \end{matrix} \right) = diag(\int_0^1e^{-\hat\psi(\epsilon_1, 0 , 0)}d \epsilon_1, \int_0^1e^{-\hat\psi(0, \epsilon_2,,0)}d \epsilon_2 , \int_0^1e^{-\hat\psi(0, 0, \epsilon_3)}d \epsilon_3) J^T \sigma_n ``` 由假定$$\nabla \psi$$是常向量， ```math \nabla \psi= \left( \begin{matrix} \psi_2 - \psi_1 \\ \psi_3 - \psi_1 \\ \psi_4 - \psi_1 \end{matrix} \right) ``` 上式可以解析求出 ```math \int_0^1e^{-\hat\psi(\epsilon_1, 0 , 0)}d \epsilon_1 =\frac{\psi_2 - \psi_1}{1 - e^{\psi_1 - \psi_2}} e^{\psi_1} ``` ```math \sigma_n =\mu_n e^{\psi_1}J^{-T} B \nabla \hat\Phi_n =\mu_n e^{\psi_1}J^{-T} B J^T \nabla \Phi_n ``` 其中 ```math B=diag(B(\psi_1 -\psi_2),B(\psi_1-\psi_3),B(\psi_1-\psi_4)), B(\epsilon)=\frac{\epsilon}{(e^{\epsilon}-1)} ``` 对单元$$t$$上的节点$$k$$ ```math A(\Phi_n, \phi_k)=\mu_n e^{\psi_k}\int_t J^{-T} B J^T \nabla \Phi_n \cdot \nabla \phi_k dx =\mu_n e^{\psi_k} \int_t J^{-T} B J^T (\nabla n e ^{-\psi}- n e^{-\psi}\nabla \psi) \cdot \nabla \phi_k dx =\mu_n \sum_{i} e^{\psi_k-\psi_i} J^{-T} B J^T (\nabla n_i - n_i \nabla \psi_i) \cdot \nabla \phi_k dx ``` 一维情况等同于FVSG ### 变量选择 1.空穴浓度p,电子浓度n 2.准费米势$$\phi_p,\phi_n$$ $$ p = n_{ie}exp(\frac{q}{k_b T}(\phi_p-\varphi)),n=n_{ie}exp(\frac{q}{k_bT}(\varphi-\phi_n)) $$ 3.Slotboom变换 $$ \Phi_p=p exp(\frac{q\psi}{k_bT}),\Phi_n=n exp(-\frac{q\psi}{k_bT}) $$ 成杰博士曾给出三组变量在一个典型的器件模拟中各自的取值范围  # 目前通用半导体模拟软件研究现状 TCAD: 计算机辅助设计仿真软件 ### 可制造性设计工具 Sentaurus TCAD - 母公司为Synopsys，通过一系列收购，全面继承了Tsuprem4，Medici和ISE-TCAD的特点和优势，它可以用来模拟集成器件的工艺制程，器件物理特性和互连线特性等 - Sentaurus Process和Sentaurus Device可以支持的仿真器件类型非常广泛，包括CMOS，功率器件，存储器，图像传感器，太阳能电池，和模拟/射频器件。 - Sentaurus TCAD还提供互连建模和参数提取工具，为优化芯片性能提供关键的寄生参数信息。 - 提供了从工艺仿真到电路排线设计的一系列软件其中包括Sentaurus Workbench, Ligament, Sentaurus Process, Sentaurus Structure Editor, Mesh Noffset3D, Sentaurus Device, Tecplot SV，Inspect, Advanced Calibration等等。  ### 工艺及器件仿真工具SILVACO-TCAD - SILVACO-TCAD是由SILVACO公司研发的计算机辅助设计仿真软件，用于半导体器件和集成电路的研究和开发、测试和生产中。 - 这套完整的工具使得物理半导体工艺可以给所有阶段的IC设计提供强大的动力：工艺仿真（ATHENA）和器件仿真（ATLAS）；SPICE 模型的生成和开发 
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