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qianruzhang 2019-11-17 17:29:05

##PNP 方程及参数
```math
\begin{aligned}
-\nabla\cdot\epsilon\nabla\phi &= \rho^f + \lambda\sum_{i=1}^{M}q_i c_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(1)\\
 \frac{\partial c_i}{\partial t}& = \nabla\cdot D_i(\nabla c_i + \beta\nabla(q_i \phi)c_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(2)
\end{aligned}
```
其中，$$c_i$$是第$$i$$种离子的浓度，对应的扩散系数为$$D_i$$($$D_{K^+}=0.196\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Na^+}=0.133\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Cl^-} =0.203\frac{\AA^2}{ps}$$ )，$$\lambda=0$$表示在溶质区域 $$\Omega_m$$，$$\lambda=1$$ 表示在溶剂区域 $$\Omega_s$$，$$\lambda$$ 分片常数, 单位为$$1$$。 $$M$$ 是扩散离子的种类数，$$\beta=\frac{1}{k_B T}$$是Boltzmann能量的倒数，$$k_B$$是Boltzmann 常数，$$T$$ 是温度，$$\epsilon$$ 是依赖于空间的介电常数，在溶质区域 $$\epsilon = \epsilon_m\epsilon_0$$, 在溶剂区域 $$\epsilon = \epsilon_s\epsilon_0$$, $$\epsilon_0$$ 是真空中的介电常数, $$\epsilon_m =2,\ \epsilon_s=80$$. $$\phi$$ 是静电势，$$q_i=z_i e_c$$ 表示第$$i$$ 种离子的带电量，$$e_c$$ 为元电荷，$$z_i \in \mathbb{R}$$ 是第 $$i$$ 种离子的化合价(单位为$$1$$), 源项$$\rho^f=\sum_{j=1}^{N}q_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j)=\sum_{j=1}^{N}\bar{z}_je_c\delta(\vec{x}-\vec{x}_j)$$ 是溶质内部的所有蛋白质分子所带电荷的累积, 其中，$$\bar{z}_j$$ 是 组成蛋白质分子的原子的化合价, $$N$$ 是 蛋白质分子所包含的原子总数， $$\vec{x}_j$$, $$\vec{x}$$ 的单位都是 $$\AA$$。

我们所有的单位均采用国际单位制 (SI)。

**静电系统中的物理常数**

|  常数符号   | 含义  |SI 表达式   |
| ------------ | ------------ | ------------ |
|  $$\AA$$  | 埃米   |  $$10^{-10}m$$ |
|  $$e_c$$   |  单位电荷 |  $$1.602\times 10^{-19}C$$ |
|  $$T$$ |  温度 | $$298K$$ |
|  $$N_A$$  |   阿伏伽德罗常数  | $$6.022\times 10^{23} \frac{1}{mol}$$  |
|  $$\epsilon_0$$ |  真空中的介电常数 |  $$8.854\times 10^{-12} \frac{C^2}{J\cdot m} $$ |
|  $$k_B$$ |  Boltzmann 常数  |  $$1.381 \times 10^{-23} J/K$$ |
| $$\beta$$  | Boltzmann 能量的倒数  | $$2.431\times 10^{20} 1/J$$  |

$$\phi$$ 的单位 $$V$$, $$c_i$$ 的单位是 $$mol/L$$, 网格的单位是 $$\AA$$, $$D_i (i=1,2,...,M)$$ 的单位为 $$\frac{\AA^2}{ps}$$。

**无量纲化方法一**

在上述单位下，令 $$u=e_c \beta \phi$$, $$\tilde{c}_i=\gamma c_i$$, 其中 $$\frac{mol}{L}=\frac{10^3 N_A} {m^3} = 6.022 \times 10^{26}\frac{1}{m^3}=6.022\times 10^{-4}\frac{1}{\AA^3}=\gamma\frac{1}{\AA^3}$$. 
(1)-(2) 无量纲化后变成

```math
\begin{aligned}
-\nabla\cdot(\epsilon \nabla u) &= \frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} \sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j) + \lambda\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0}\sum_{i=1}^{M}z_i \tilde{c}_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(3)\\
 \frac{\partial  \tilde{c}_i}{\partial t} & = \nabla\cdot D_i(\nabla  \tilde{c}_i + \nabla(z_i u) \tilde{c}_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(4)
\end{aligned}
```
此时 (3)式左右两边的单位为 $$\frac{1}{\AA^2}$$, (4) 式左右两边的单位为 $$\frac{1}{ps \cdot \AA^3}$$.
把常量带入(3)-(4) 可得无量纲化的方程
```math
\begin{aligned}
- \nabla\cdot\epsilon\nabla u &= \alpha_1 \sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j) + \lambda \alpha_2 \sum_{i=1}^{M}z_i c_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(3)\\
\frac{\partial c_i}{\partial t} & =\nabla \cdot D_i (\nabla c_i + \nabla(z_iu)c_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(4)
\end{aligned}
```
其中, $$\alpha_1=\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} =7.046\times10^{3}$$($$\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} =7.046\times10^{-7}m=7.046\times10^{3}\AA$$), $$\alpha_2=\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0}\gamma=4.243.$$

**无量纲化方法二**

在上述单位下，首先引入一个宏观的长度尺度 $$L$$, 一个特征浓度$$c_0$$, 特征扩散系数$$D_0$$ 以及$$
\lambda_{\mathrm{D}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{0} \epsilon_{}}{2 \beta e_c^{2} c_{0}}}.$$ 我们可以得到下列无量纲的量
$$\tilde{\vec{x}}=\frac{\vec{x}}{L}, \tilde{D}_{i}=\frac{D_{i}}{D_{0}}, \tilde{t}=\frac{t D_{0}}{L \lambda_{\mathrm{D}}}, \tilde{c}_{i}=\frac{c_{i}}{c_{0}}, \tilde{\rho}^{f}=\frac{\rho^{f}}{e_c c_{0}}=\frac{1}{c_0}\sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j),u=\beta e_c \phi.$$
将上述无量纲的量带入 PNP 方程(1)-(2) 可以得到无量纲化的PNP方程.
```math
\begin{aligned}
-\nabla\cdot\kappa\nabla u &= \tilde{\rho}^f + \lambda\sum_{i=1}^{M}z_i \tilde{c}_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(5)\\
 \frac{\partial \tilde{c}_i}{\partial \tilde{t}}& = \tau \nabla\cdot \tilde{D}_i(\nabla \tilde{c}_i + \nabla(z_i u)\tilde{c}_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(6)
\end{aligned}
```
其中, $$\kappa=2 \frac{\lambda^2_{\mathrm{D}}}{L^{2}}$$, $$\tau = \frac{\lambda_D}{L}.$$

在上述无量纲方程(3)-(4)及(5)-(6)中, $$\epsilon$$ 无单位且在溶剂区域为80, 在溶质区域为2。  组成蛋白质分子的原子的化合价 $$\bar{z_j}\in(-1,1)$$, 蛋白质分子所包含的原子总数 $$N$$ 可以从几十到几百变化。 扩散离子的种类数$$M$$ 一般为2或3. 扩散系数$$D_i$$ 在通道外面等于其在bulk溶液中的值 ($$D_{K^+}=0.196\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Na^+}=0.133\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Cl^-} =0.203\frac{\AA^2}{ps}$$, )，在通道里面一般可取bulk溶液中的值的 0.1倍，在通道内外交界处的过渡区域$$D_i$$是连接通道内外取值的一个连续函数。离子的化合价 $$z_i$$ 取值一般为 +1， -1， +2 等。

在计算区域（盒子）的上下边界，电势 $$\phi$$ 在盒子的上表面为 0， 在盒子的下表面可在 $$-2V$$ 到 $$2V$$ 之间变化， 离子溶液的浓度在盒子的上下表面可在 $$0.01mol/L$$ 到 $$1mol/L$$ 之间变化。

####PNP 计算区域
![](https://data.xyzgate.com/66b5c73107a789ad807e13f48e4bcb27.jpg)
**图1 离子通道二维示意图**
基于图1 给出含边界条件的稳态的PNP方程组
```math
\begin{aligned}
-\nabla \cdot\epsilon\nabla\phi = \rho^f + \lambda\sum^{K}_{i=1}q_ic_i \quad\quad in\ \Omega,\\
 -\nabla \cdot J_i = 0 ,\quad\quad in\ \Omega_s,\ i=1,2,...,K,\\
\phi(\vec{x}) = 0 \quad\quad on\ \Gamma_t,\\
 \phi(\vec{x}) = V_m \quad\quad on\ \Gamma_b,\\
c_i(\vec{x}) =c_{it}^{bulk} \quad\quad on\ \Gamma_t,\\
c_i(\vec{x}) =c_{ib}^{bulk} \quad\quad on\ \Gamma_b,\\
 J_i(\vec{x})\cdot \vec{n} = 0 \quad\quad on\ \Gamma_m\cup\Gamma_N,\\
\phi_m = \phi_s \quad\quad on\ \Gamma_m,\\
 \epsilon_m \frac{\partial\phi_m}{\partial \vec{n}}= \epsilon_s \frac{\partial\phi_s}{\partial \vec{n}} \quad\quad on\ \Gamma_m,\\
 \frac{\partial\phi}{\partial \vec{n}} = 0 \quad\quad on\ \Gamma_N.
\end{aligned}
```
其中，$$J_i(\vec{x})=-D_i(\nabla c_i + \beta c_i q_i \nabla \phi).$$