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qianruzhang 2019-11-17 17:29:05
##PNP 方程及参数 ```math \begin{aligned} -\nabla\cdot\epsilon\nabla\phi &= \rho^f + \lambda\sum_{i=1}^{M}q_i c_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(1)\\ \frac{\partial c_i}{\partial t}& = \nabla\cdot D_i(\nabla c_i + \beta\nabla(q_i \phi)c_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(2) \end{aligned} ``` 其中,$$c_i$$是第$$i$$种离子的浓度,对应的扩散系数为$$D_i$$($$D_{K^+}=0.196\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Na^+}=0.133\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Cl^-} =0.203\frac{\AA^2}{ps}$$ ),$$\lambda=0$$表示在溶质区域 $$\Omega_m$$,$$\lambda=1$$ 表示在溶剂区域 $$\Omega_s$$,$$\lambda$$ 分片常数, 单位为$$1$$。 $$M$$ 是扩散离子的种类数,$$\beta=\frac{1}{k_B T}$$是Boltzmann能量的倒数,$$k_B$$是Boltzmann 常数,$$T$$ 是温度,$$\epsilon$$ 是依赖于空间的介电常数,在溶质区域 $$\epsilon = \epsilon_m\epsilon_0$$, 在溶剂区域 $$\epsilon = \epsilon_s\epsilon_0$$, $$\epsilon_0$$ 是真空中的介电常数, $$\epsilon_m =2,\ \epsilon_s=80$$. $$\phi$$ 是静电势,$$q_i=z_i e_c$$ 表示第$$i$$ 种离子的带电量,$$e_c$$ 为元电荷,$$z_i \in \mathbb{R}$$ 是第 $$i$$ 种离子的化合价(单位为$$1$$), 源项$$\rho^f=\sum_{j=1}^{N}q_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j)=\sum_{j=1}^{N}\bar{z}_je_c\delta(\vec{x}-\vec{x}_j)$$ 是溶质内部的所有蛋白质分子所带电荷的累积, 其中,$$\bar{z}_j$$ 是 组成蛋白质分子的原子的化合价, $$N$$ 是 蛋白质分子所包含的原子总数, $$\vec{x}_j$$, $$\vec{x}$$ 的单位都是 $$\AA$$。 我们所有的单位均采用国际单位制 (SI)。 **静电系统中的物理常数** | 常数符号 | 含义 |SI 表达式 | | ------------ | ------------ | ------------ | | $$\AA$$ | 埃米 | $$10^{-10}m$$ | | $$e_c$$ | 单位电荷 | $$1.602\times 10^{-19}C$$ | | $$T$$ | 温度 | $$298K$$ | | $$N_A$$ | 阿伏伽德罗常数 | $$6.022\times 10^{23} \frac{1}{mol}$$ | | $$\epsilon_0$$ | 真空中的介电常数 | $$8.854\times 10^{-12} \frac{C^2}{J\cdot m} $$ | | $$k_B$$ | Boltzmann 常数 | $$1.381 \times 10^{-23} J/K$$ | | $$\beta$$ | Boltzmann 能量的倒数 | $$2.431\times 10^{20} 1/J$$ | $$\phi$$ 的单位 $$V$$, $$c_i$$ 的单位是 $$mol/L$$, 网格的单位是 $$\AA$$, $$D_i (i=1,2,...,M)$$ 的单位为 $$\frac{\AA^2}{ps}$$。 **无量纲化方法一** 在上述单位下,令 $$u=e_c \beta \phi$$, $$\tilde{c}_i=\gamma c_i$$, 其中 $$\frac{mol}{L}=\frac{10^3 N_A} {m^3} = 6.022 \times 10^{26}\frac{1}{m^3}=6.022\times 10^{-4}\frac{1}{\AA^3}=\gamma\frac{1}{\AA^3}$$. (1)-(2) 无量纲化后变成 ```math \begin{aligned} -\nabla\cdot(\epsilon \nabla u) &= \frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} \sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j) + \lambda\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0}\sum_{i=1}^{M}z_i \tilde{c}_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(3)\\ \frac{\partial \tilde{c}_i}{\partial t} & = \nabla\cdot D_i(\nabla \tilde{c}_i + \nabla(z_i u) \tilde{c}_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(4) \end{aligned} ``` 此时 (3)式左右两边的单位为 $$\frac{1}{\AA^2}$$, (4) 式左右两边的单位为 $$\frac{1}{ps \cdot \AA^3}$$. 把常量带入(3)-(4) 可得无量纲化的方程 ```math \begin{aligned} - \nabla\cdot\epsilon\nabla u &= \alpha_1 \sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j) + \lambda \alpha_2 \sum_{i=1}^{M}z_i c_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(3)\\ \frac{\partial c_i}{\partial t} & =\nabla \cdot D_i (\nabla c_i + \nabla(z_iu)c_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(4) \end{aligned} ``` 其中, $$\alpha_1=\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} =7.046\times10^{3}$$($$\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0} =7.046\times10^{-7}m=7.046\times10^{3}\AA$$), $$\alpha_2=\frac{e_c^2 \beta}{\epsilon_0}\gamma=4.243.$$ **无量纲化方法二** 在上述单位下,首先引入一个宏观的长度尺度 $$L$$, 一个特征浓度$$c_0$$, 特征扩散系数$$D_0$$ 以及$$ \lambda_{\mathrm{D}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{0} \epsilon_{}}{2 \beta e_c^{2} c_{0}}}.$$ 我们可以得到下列无量纲的量 $$\tilde{\vec{x}}=\frac{\vec{x}}{L}, \tilde{D}_{i}=\frac{D_{i}}{D_{0}}, \tilde{t}=\frac{t D_{0}}{L \lambda_{\mathrm{D}}}, \tilde{c}_{i}=\frac{c_{i}}{c_{0}}, \tilde{\rho}^{f}=\frac{\rho^{f}}{e_c c_{0}}=\frac{1}{c_0}\sum_{j=1}^{N}\bar{z}_j\delta(\vec{x}-\vec{x}_j),u=\beta e_c \phi.$$ 将上述无量纲的量带入 PNP 方程(1)-(2) 可以得到无量纲化的PNP方程. ```math \begin{aligned} -\nabla\cdot\kappa\nabla u &= \tilde{\rho}^f + \lambda\sum_{i=1}^{M}z_i \tilde{c}_i, \text{ in } \Omega,\;\;\;(5)\\ \frac{\partial \tilde{c}_i}{\partial \tilde{t}}& = \tau \nabla\cdot \tilde{D}_i(\nabla \tilde{c}_i + \nabla(z_i u)\tilde{c}_i), \text{ in } \Omega_s, i=1, \cdots, M.\;\;\;(6) \end{aligned} ``` 其中, $$\kappa=2 \frac{\lambda^2_{\mathrm{D}}}{L^{2}}$$, $$\tau = \frac{\lambda_D}{L}.$$ 在上述无量纲方程(3)-(4)及(5)-(6)中, $$\epsilon$$ 无单位且在溶剂区域为80, 在溶质区域为2。 组成蛋白质分子的原子的化合价 $$\bar{z_j}\in(-1,1)$$, 蛋白质分子所包含的原子总数 $$N$$ 可以从几十到几百变化。 扩散离子的种类数$$M$$ 一般为2或3. 扩散系数$$D_i$$ 在通道外面等于其在bulk溶液中的值 ($$D_{K^+}=0.196\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Na^+}=0.133\frac{\AA^2}{ps},\ D_{Cl^-} =0.203\frac{\AA^2}{ps}$$, ),在通道里面一般可取bulk溶液中的值的 0.1倍,在通道内外交界处的过渡区域$$D_i$$是连接通道内外取值的一个连续函数。离子的化合价 $$z_i$$ 取值一般为 +1, -1, +2 等。 在计算区域(盒子)的上下边界,电势 $$\phi$$ 在盒子的上表面为 0, 在盒子的下表面可在 $$-2V$$ 到 $$2V$$ 之间变化, 离子溶液的浓度在盒子的上下表面可在 $$0.01mol/L$$ 到 $$1mol/L$$ 之间变化。 ####PNP 计算区域  **图1 离子通道二维示意图** 基于图1 给出含边界条件的稳态的PNP方程组 ```math \begin{aligned} -\nabla \cdot\epsilon\nabla\phi = \rho^f + \lambda\sum^{K}_{i=1}q_ic_i \quad\quad in\ \Omega,\\ -\nabla \cdot J_i = 0 ,\quad\quad in\ \Omega_s,\ i=1,2,...,K,\\ \phi(\vec{x}) = 0 \quad\quad on\ \Gamma_t,\\ \phi(\vec{x}) = V_m \quad\quad on\ \Gamma_b,\\ c_i(\vec{x}) =c_{it}^{bulk} \quad\quad on\ \Gamma_t,\\ c_i(\vec{x}) =c_{ib}^{bulk} \quad\quad on\ \Gamma_b,\\ J_i(\vec{x})\cdot \vec{n} = 0 \quad\quad on\ \Gamma_m\cup\Gamma_N,\\ \phi_m = \phi_s \quad\quad on\ \Gamma_m,\\ \epsilon_m \frac{\partial\phi_m}{\partial \vec{n}}= \epsilon_s \frac{\partial\phi_s}{\partial \vec{n}} \quad\quad on\ \Gamma_m,\\ \frac{\partial\phi}{\partial \vec{n}} = 0 \quad\quad on\ \Gamma_N. \end{aligned} ``` 其中,$$J_i(\vec{x})=-D_i(\nabla c_i + \beta c_i q_i \nabla \phi).$$
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