#### 集成微系统建模与仿真专委会会议 <br> <br> <br> #=!= 并行3D有限元器件模拟平台研究 ####=!= 卢本卓 ####=!= 科学院计算数学与科学工程计算研究所, ####=!= 国家数学与交叉科学中心，北京 ####=!= 北京，12/16/2017 <br> <br> <br>
[TOC] #=!= 内容 - 背景 - 有限元器件模拟平台研究内容 -- 物理模型与机制 -- ** 前处理: 网格生成 ** -- **有限元算法** -- **后处理** -- **模拟实例：半导体器件模拟，纳米管的电流特性及第三代基因测序** - 在线仿真平台 <br> <br> <br>
#=!= 背景 - 集成微系统，器件，材料 - 多物理多尺度，环境效应 ### 多尺度特征 
### 半导体器件 ####=!= MOSFET-SiO2  <br> <br>
#=!= 一个（宏观）物理模型：电扩散反应连续模型 - ## Poisson-Nernst-Planck 方程组: ```math \begin{cases} \frac{\partial c^i(r,t)}{\partial t}=\nabla \cdot {D^i(\nabla c^i + \beta c^i \nabla(q^i \phi))} + R(c,r,t),\ i=1,\cdots,K,\ \\ \nabla \cdot \varepsilon \nabla \phi(r,t)=-\rho^f(r) -\lambda \displaystyle\sum q^i c^i(r,t) \end{cases} ``` <br> <br> <br> <br> <br>
- ## 燃料电池、离子通道、纳米孔等 #### (a) Fuel cell (b) Nanofluidic channel (c) Ion channel  ####=!= nanopore 
#=!= 有限元模拟 
#=!= Mesh generation - ## 分子网格软件：TMSmesh （表面网格生成） <iframe frameborder="no" border="0" marginwidth="0" marginheight="0" width=100% height=400px src="/scene?id= 59fbc6524f022e672773978b"></iframe> TT Liu, M.X. Chen (陈旻昕), and B.Z. Lu, *SIAM J. Sci. Computing*. (in press) Chen MX, Lu BZ, *J Chem Theory Comput*. 2011, 7, 203–212
## n*th*-degree polynominal approxiamtion ```math \phi \left(\vec x \right) = \sum _{i=1}^{N}e^{-(\Vert \vec x - \vec x_i \Vert ^2 - r_i^2 )}=\sum _{i=1}^{N}e^{r_i^2}e^{-\left( x-x_i \right)^2}e^{-\left( y-y_i \right)^2}e^{-\left( z-z_i \right)^2}. ``` in the cubic cell $$[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$$，above equation can be approximated as: ```math P(x,y,z) = \sum_{i=1}^{N}e^{r_i^2}P_n(x,x_i,a,b)Q_n(y,y_i,c,d)R_n(z,z_i,e,f), ``` ```math P_n(x,x_i,a,b) = \sum_{j=0}^n \alpha_j(x_i,a,b)L_j(\frac{2x-(a+b)}{b-a}), ``` ```math Q_n(y,y_i,c,d) = \sum_{j=0}^n \beta_j(y_i,c,d)L_j(\frac{2y-(c+d)}{d-c}), ``` ```math R_n(z,z_i,e,f) = \sum_{j=0}^n \gamma_j(z_i,e,f)L_j(\frac{2z-(e+f)}{f-e}), ``` ## 自适应划分表面 
## 膜-蛋白系统的表面网格  TT Liu, SY Bai, B Tu, MX Chen, and BZ Lu, Membrane-Channel Protein System Mesh, Construction for Finite Element Simulations, *Mol. Based Math. Biol*. 2015; 3:128–139
- ## 半导体器件网格生成软件： DevMesh 
- ## 网格光滑软件： SMOPT 修改的拉普拉斯光滑： ```math p_i=(1-\gamma)q_i + \frac{\gamma}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i} q_j ```  ==! Liu T, Chen M, Song Y, Li H, Lu B, *PLoS ONE*, 12(9): e0184206, 2017.
#=!= 有限元方法 - 作为一个例子，考虑下面一个（线性）椭圆方程: ```math -\nabla (\cdot D\nabla u) +ku + f =0, \ \text{in} \ \Omega_s, ``` ```math u=\bar u |_{\partial \Omega_s, \ \text{on} \ \partial \Omega_s } ``` where D is a symmetric positive definite tensor, k is a constant, and f is a source term. - 有限元求满足下面的弱形式的解(在弱形式意义下): ```math \text{Find} \ u\in \bar u + H^1_0(\Omega_s), \ \text{such that} \ \langle F(u),v\rangle =0, ``` ```math \forall v \in H^1_0(\Omega_s), ``` where $$\bar u$$ is a trace function satisfying the Dirichlet boundary conditions, $$H^1_0(\Omega_s)$$ is a Sobolev space of weakly differentiable functions which vanish on the boundary of the domain. - The week form: ```math \langle F(u),v\rangle =\int_{\Omega_s} (D \nabla u \cdot \nabla v + kuv + fv)dx -\int_{\Gamma_s} v D\nabla u \cdot ds, ```
To discretize the PDE, construct a FE base function space {vi} defined at each vertex, and approximate solution u by its expansion in the test function space ```math u(r)=\sum_i a_i v_i(r), ``` Therefore, for any $$v_j$$ ```math \langle F(u),v\rangle =\int_{\Omega_s} (D \sum_i a_i \nabla v_i \cdot \nabla v_j + k\sum_i a_i v_i v_j + fv_j)dx -\int_{\Gamma_s} v_j D\sum_i a_i\nabla v_i \cdot ds =0, ``` - 最后求解线性代数方程组： ```math A \bold a= \bold F ``` <br> <br> <br> <br>
### 数值要求 - 保物理结构、保正性、流守恒、保能量 - 高效性、稳定性 ### 一些数值技术 --Parallel adaptive Finite element method (based on PHG) --Interface problem (jump dielectric coefficient) - Conforming mesh (body-fitted mesh generation) --Singular charges treatment - Potential decomposition to remove the singularities -- Iterative or Newton method to solve the coupled systems (PNP, smPNP …） - <font color=#A52A2A size=4 > **Gummel iteration**</font> - Stablization method (SUPG, ...) ### PHG程序包 PHG平台（Parallel Hierarchical Grid）是由中科院计算数学所相关课题组研制的并行自适应有限元软件平台，经过10多年的发展，它已经具备在亿亿次级超级计算机上开展数万进程、数十万处理器核的大规模并行计算能力，并支撑发展了一批千万亿次到亿亿次的并行应用程序。PHG平台的核心关键技术包括：适应于众核加速的底层数据结构和支撑函数；高效MPI和OpenMP/OpenACC混合并行技术，特别是对多级MPI并行的支持；具备众核加速能力的单进程高效求解器和预条件子，特别是稀疏矩阵的近似分解（ILU等）及稀疏线性求解器等；基于检查点的重启技术；支持众核加速的应用编程接口；并行网格IO；等等。 Zhang LB, Numer. Math. Theor. Meth. Appl. 2, 65 (2009). Cheng IL et al. 2003 JH Chaudhry, J Comer, A Aksimentiev, LN Olson, Commun. Comput. Phys. 15: 93, 2014 Lu BZ, et al. 2007; 2008; 2009; 2010; 2011; 2013,2015
#=!= 3D并行有限元计算性能、应用及结果 =!= 求解PNP耦合方程组的并行效率（using the transformed formulation） 
## 半导体器件模拟 ### 半导体器件辐照损伤效应 MOS器件受电离射线的照射后，在氧化层中激发大量电子-空穴对，逃离初始复合的电子和空穴在电场作用下，电子向金属栅极移动，空穴向$$SiO_2/Si$$表面移动，被氧化层内的陷阱俘获，形成氧化层陷阱电荷。$$H_2$$与陷阱电荷发生反应释放质子并形成含氢缺陷，带正电的含氢缺陷也会直接释放质子。下面具体描述这一系列的反应。 =!= **氧化层 $$SiO_2$$ 中的电离损伤模拟**  ==!Jingjie Xu, Zhaocan Ma, Hongliang Li, Yu Song, Linbo Zhang, and Benzhuo Lu, *IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing*. (in press)
### 缺陷反应及其速率 ### Interface reaction $$H^{+} + Si-H \Leftrightarrow N_{it} + H_2$$ 
## Drift-Diffusion Modeling - 泊松方程： $$-\epsilon\nabla^2\phi=Q\_{SiO\_2}$$ - 电子连续性方程： $$\dfrac{\partial n}{\partial t}=-\nabla\cdot\Big(\mu\_nn\nabla\phi -D\_n\nabla n\Big)+U\_{radiation}+G\_{n}-R\_{n}$$ - 空穴连续性方程： $$\dfrac{\partial p}{\partial t}=\nabla\cdot\Big(\mu\_pp\nabla\phi+D\_p\nabla p\Big)+U\_{radiation}+G\_{p}-R\_{p}$$ - 质子连续性方程： $$\dfrac{\partial H^{+}}{\partial t}=\nabla\cdot\Big(\mu\_{H^{+}}H^{+}\nabla\phi+D\_{H^{+}}\nabla H^{+}\Big)+G\_{H^{+}}-R\_{H^{+}}$$ - 氢气连续性方程： $$\dfrac{\partial H\_2}{\partial t}=\nabla\cdot\Big(D\_{H\_2}\nabla H\_2\Big)+G\_{H\_2}-R\_{H\_2}$$ 其中 $$Q\_{SiO\_2}=q(n-p+H^{+}+V\_{o\gamma}^{+}+V\_{o\delta}^{+}+V\_{o\gamma}H^{+}+V\_{o\delta}H^{+}+V\_{o\gamma}H\_2^{+}+V\_{o\delta}H_2^{+})$$
$$U\_{radiation}$$ is the EHP generation term, $$U\_{radiation}=Y\* g\_0\* R\_d$$ where $$Y$$ is the percent of electrons and holes surviving initial recombination, $$R\_d$$ is the dose rate of the radiation in rad($$SiO\_2/s$$), $$g\_0$$ is the initial EHP density per unit dose of radiation. For $$V\_{o\gamma}$$, $$V\_{o\gamma}^{+}$$, $$V\_{o\delta}$$, $$V\_{o\delta}^{+}$$, $$V\_{o\gamma}H$$, $$V\_{o\gamma}H^{+}$$, $$V\_{o\delta}H$$, $$V\_{o\delta}H^{+}$$, $$V\_{o\gamma}H\_2$$, $$V\_{o\gamma}H\_2^{+}$$, $$V\_{o\delta}H\_2$$, $$V\_{o\delta}H\_2^{+}$$, $$\dfrac{dc\_i}{dt}=G\_{c\_i}-R\_{c\_i}$$ $$\dfrac{d N\_{it}}{dt}=k\_{int}\cdot[H\_{int}^{+}]\cdot[SiH\_{int}]$$ where $$[H\_{int}^{+}]$$ is the concentration of protons near the interface, $$[SiH\_{int}]$$ is the areal concentration of hydrogen-passivated dangling bonds at the interface, and $$k\_{int}$$ is the effective rate of the interface reaction. ==!Nicole L. Rowsey, QUANTITATIVE MODELING OF TOTAL IONIZING DOSE RELIABILITY EFFECTS IN DEVICE SIO2 LAYERS, *PhD thesis, University of Florida*, 2012
## 模拟方法 - **时间多步长** ODE 解法 + **长时间步长有限元** PDE 解法 ## 模拟结果 
###=!= 不同$$H_2$$浓度下的表面 $$N_\text{it}$$ 浓度 Total dose of 0.1 krad with 10 rad/s <div class="row"><div class="col-lg-6"></div><div class="col-lg-6"></div></div> =!= Low doping $$V_{o\gamma} \sim 10^{14} cm^{-3} $$ $$\text{High doping} \ \~ V_{o\gamma} \sim 10^{15} cm^{-3}$$
###=!= TID效应—低剂量率增强效应 Total dose of 0.1 krad, $$H_2$$ density of $$3 \times 10^{14} cm^{-3}$$ 
### 电离损伤对NMOS 的影响 =!= N-MOSFET 的网格剖分  网格尺寸： 15552 nodes，78912 elements =!= 损伤导致的漏电现象  =!= NMOS开启电压
# =!= 在线模拟平台 <br> <br> <br> ##=!= [xyzgate.com](http://xyzgate.com "xyzgate.com") <br> <br> <br> <br> <br>
###Acknowledgments 计算数学所： 白石阳，刘田田，许竞劼，马召灿，王芹 张林波研究员 陈旻昕 (苏州大学) 涂斌 (国家纳米中心) 李鸿亮，宋宇 （中物院微太中心） 经费：CAS, NSFC, NCMIS，挑战计划 # Thanks! <br> <br> <br>
厦门：电扩散过程有限元模拟及其应用 #内容 - ### 电扩散系统应用背景 - 电扩散系统的自由能形式 -- PNP模型（连续模型） - ### 网格生成 - ### 有限元计算: - ### FEM应用举例 -- 半导体器件模拟 --纳米管的电流特性及基因测序
### 杂志投稿 
# 补充材料 # 化学、生物、材料中的电扩散反应过程
# 补充应用 ## Mesh 
## Meshing for membrane-protein system ####=!= Connexin (Cx26)   
=!= N-MOSFET 电子准费米势分布图  计算设置： $$V_g=8 V, V_d=4V$$ 64核，CPU时间 < 18 h =!= I-V 曲线 
- ##对称型纳米孔 Conditions: Mixed electrolyte: Na+, K+, Cl- cbulk for Na+ and K+ = 0.1M, cbulk for Cl- = 0.2M   (submitted)
- ##锥形纳米孔 Standard PNP model Conditions: electrolyte: Na+, Cl- 
  =!=（size: 原来几何尺寸的放大倍数）
- ##周期扫描膜电压(含时模拟)：hysteresis 现象   =!= I-V curves
### MOSFET =!= N-MOSFET 的网格剖分  网格尺寸： 15552 nodes，78912 elements
=!= N-MOSFET 电子准费米势分布图  计算设置： $$V_g=8 V, V_d=4V$$ 64核，CPU时间 < 18 h =!= I-V 曲线 
# 问题表达式 ： =!= AChE =!= ACh -------> acetate + choline - $$\longrightarrow$$ 最后求解线性代数方程组： $$I=c_{-}^{bulk}=c_+^{bulk}$$ Substrate (c_s) + product ($$c_p$$) serve as a nonreactive species, $$J_{total} \sim 0$$, then JJ Xu, Y Xie, BZ Lu, LB Zhang, Charged Substrate and Product Together Contribute Like a Nonreactive Species to the Overall Electrostatic Steering in Diffusion-Reaction Processes, J. Phys Chem B, 120: 8147, 2016.
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